C'est en avril 1851 que le royaume du Danemark imprime son premier timbre-poste. Il s'agit d'un timbre de 4 rigsbankskilling, destiné à l'affranchissement du courrier intérieur.

Un mois plus tard, un timbre de 2 rigsbankskilling était émis, pour le courrier local cette fois-ci, principalement celui de Copenhague. C'est ce timbre qui porte le n° 1. Il sera tiré à près de 500 000 exemplaires et sera utilisé pendant 3 ou 4 ans, jusqu'au changement monétaire de 1854.

On distingue deux impressions. La première est réalisé directement à l'aide de plaques de cuivre, par M. W. Ferslew, qui est remplacé à sa mort par H. H. Thiele, qui procède plutôt par typographie. On distingue donc ces deux impressions par le relief du motif, plus prononcé pour la première. La deuxième impression fut environ quatre fois plus importante en volume que la première.

Les amateurs de types aiment particulièrement ce timbre car il y a dix clichés différents, recopiés dix fois pour former une planche de cent timbres, et deux planches différentes. On distingue relativement facilement les deux cents positions car chacune d'entre elle a été retouchée avant l'impression. De plus, les clichés de quatre positions de la première planche ont éventuellement été remplacés car abîmés.

Voici ce qui est sans nul doute l'un des plus bel exemplaire de ce timbre :

Mis en vente par Postiljonen, vente aux enchères du 04.04.2009, lot n° 5. Mise à prix : 20 000€ Prix de vente : Invendu ex Stig Andersen, Peer Lorentzen

Le timbre est neuf, en parfaite condition, de couleur radieuse, avec de belles marges amples et avec en plus sa gomme originale immaculée ! Impossible de faire mieux.

Il s'agit d'un exemplaire de la première impression, planche n° 1, position 63, type 3. Ce type se caractérise par les trois lignes horizontales à la droite du P de POST; la première est légèrement brisée vers la droite. Pour la petite histoire, KGL est l'abbréviation de Kongelig, qui signifie « royal ».

Voici l'unique bloc oblitéré de ce timbre :

Mis en vente par David Feldman SA, vente aux enchères du 01.05.2009, lot n° 60007. Valeur estimée : 120 000 à 180 000€ Prix de vente : Invendu ex Scott

Il s'agit des positions 1, 2, 11 et 12, du deuxième tirage. Les bords de feuille gauche et supérieur n'ont pas été conservés. Le vendeur précise que ce bloc a été découvert il y a une vingtaine d'année dans un album philatélique d'une écolière.

Trois blocs neufs seraient connus, dont l'un se trouve au musée postal danois, que je n'ai malheureusement pas eu la chance de visiter durant mon séjour dans ce pays l'été dernier, même si je suis passé devant par hasard. Une autre fois peut-être !

En 1890, l'Italie surcharge une série de timbres pour colis postaux afin de leur donner pouvoir d'affranchissement ordinaire. Qui dit surcharge dit innombrables variétés, dont la surcharge inversée qui semble tant passionner les collectionneurs :

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères du 11.03.2009, lot n° 1229. Cote : 100 000€ Prix indicatif : 47 500$ Prix de vente : 42 500$

Le vendeur précise que d'après Sassone, il n'y aurait que deux exemplaires de cette variété. Celui-ci est « unused with full original gum, small h.r., fine ». L'autre serait neuf sans gomme. Le vendeur en conclut que « this is undoubtedly the finest existing example of this world-class rarity ».

Le vendeur précise également que l'autre exemplaire a été vendu par lui-même en mars 2008. Grâce à ses archives on retrouve donc ce deuxième exemplaire :

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères de 03.2008, lot n° 1422. Cote : 90 000€ Prix de vente : 55 000$

Et là, surprise, la description de ce timbre précise que l'autre exemplaire connu serait défectueux ! Manifestement il ne l'est pas ou ne l'est plus...

Autre curiosité, l'augmentation de plus de 10% de la cote en un an alors qu'à priori il est peu probable qu'il y ait eu d'autre exemplaire de vendu que celui-ci. Suite à une vente de 55 000$ on augment la cote de 90 000 à 100 000€ ? S'il fallait une autre preuve que la cote ne représente pas la valeur marchande d'un timbre, c'en est une bonne.

Ce qui est intéressant, c'est que le catalogue Scott de 2002 le cote à 32 500$ neuf et 16 250$ oblitéré. Oblitéré ? Il y aurait donc plus de deux exemplaires ?

Mis en vente par AP Auction Phila, vente aux enchères n° 148 du 29.09.2007, lot n° 301. Prix de vente : Inconnu

Le timbre en bas à gauche, il semble bien que ce soit celui qui nous intéresse...

Le Ceylan, qui se nomme aujourd'hui le Sri Lanka, est une importante île se trouvant au sud-est de l'Inde. Colonie britannique au moment de l'invention du timbre poste, ses premiers timbres sont naturellement ornés de l'effigie de la reine Victoria.

Les premiers timbres sont émis de 1857 à 1859 non dentelés puis dentelés pendant une petite dizaine d'années. Les valeurs vont de un penny à deux shillings. Oblitérés, ces premiers timbres sont abordables (enfin, tout dépend du point de vue) mais neufs, plusieurs d'entre eux sont de grandes raretés.

Une collection spécialisée de Ceylan ayant récemment été dispersée, profitons-en pour présenter quelques exemplaires de ces raretés :

Mis en vente par Spink Shreves Galleries, vente aux enchères n° 109 du 18.02.2009, lot n° 54. Valeur estimée : 200 000 à 250 000$ Prix de vente : Invendu ex Baron de Worms, Sir Ernest de Silva, Lars Amundsen, Raymond H. Weill, collection Joseph Hackmey

Que demander de plus pour ce timbre en parfaite condition qui est l'un des rares exemplaires à avoir conservé une partie de sa gomme originale ?

Mis en vente par Spink Shreves Galleries, vente aux enchères n° 109 du 18.02.2009, lot n° 65. Cote : 28 000£ Valeur estimée : 40 000 à 50 000$ Prix de vente : Invendu collection Joseph Hackmey

Un autre très bel exemplaire, avec gomme originale redistribuée.

Mis en vente par Spink Shreves Galleries, vente aux enchères n° 109 du 18.02.2009, lot n° 68. Cote : 45 000£ Valeur estimée : 80 000 à 100 000$ Prix de vente : 65 000$ ex Baron de Worms, Dale-Lichtenstein, Pearson, collection Joseph Hackmey

La troisième rareté de cette série est ce timbre de 9 pence. Cet exemplaire est encore une fois excellent malgré un très léger pli dans le bas du timbre. Il possède une partie de sa gomme originale. Il s'agit d'un exceptionnel trio qui donne un aperçu du contenu de la collection de Joseph Hackney, qui regorgeait d'objets philatéliques hors du commun.

Voici deux autres exemplaires de ces timbres qui figuraient dans la collection :

Mis en vente par Spink Shreves Galleries, vente aux enchères n° 109 du 18.02.2009, lot n° 55. Valeur estimée : 30 000 à 40 000$ Prix de vente : 20 000$ ex Baron de Worms, Sir Ernest de Silva, Pearson, collection Joseph Hackmey

Mis en vente par Spink Shreves Galleries, vente aux enchères n° 109 du 18.02.2009, lot n° 66. Cote : 28 000£ Valeur estimée : 15 000 à 20 000$ Prix de vente : 9000$ collection Joseph Hackmey

Ces deux timbres ne possèdent plus de gomme et le premier est défectueux (un pli et quelques taches dans le bas), ce qui explique leur valeur moindre.

Par les hasards du calendrier, un autre exemplaire neuf du timbre de 4 pence était offert aux collectionneurs il y a un mois :

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères de 01.2009, lot n° 766. Cote : 65 000£ Prix de vente : 24 000$

Un exemplaire sans gomme (le vendeur précise que seuls un ou deux exemplaires existeraient avec gomme; un est illustré dans ce billet !) mais sans défaut.

Chez le même vendeur, en remontant un an dans le passé, on retrouve également les deux exemplaires suivants :

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères de 09.01.2008, lot n° 1878. Cote : 60 000£ Valeur estimée : 60 000$ Prix de vente : 62 500$

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères de 09.01.2008, lot n° 1879. Cote : 25 000£ Valeur estimée : 30 000$ Prix de vente : Invendu

Le timbre de 4 pence est en excellente condition et possède toute sa gomme originale (c'est le deuxième illustré dans cet article, ce qui infirme la possibilité qu'il n'y en ait qu'un seul...). Le timbre de huit pence n'en possède pas et est affligé de défauts mineurs. La valeur estimée semble donc surélevée, ce qui est confirmé par le résultat de la vente.

Les philatélistes qui se spécialisent dans les émissions du milieu du dix-neuvième siècle finissent un jour ou l'autre par s'intéresser aux variétés positionnelles. Ces variétés constantes permettent d'identifier la position d'un timbre dans la planche d'impression. Cette identification peut être triviale comme sur les premiers timbres émis par l'Angleterre où deux lettres dans les coins du timbre identifient de façon claire la position du timbre, de AA à TL. La plupart du temps cependant l'identification nécessite un examen attentif d'infimes détails d'impression et la comparaison de ceux-ci avec un ouvrage de référence.

Mis en vente par Spink, vente aux enchères n° 8042 du 03.12.2008, lot n° 149. Cote : 20 000£ Valeur estimée : 2500 à 3000£ Prix de vente : Invendu

Supposons que je veuille débuter une reconstruction de planche, c'est-à-dire trouver, pour un timbre donné, un exemplaire pour chaque position de la feuille complète. Combien de timbres dois-je m'attendre à acheter ou examiner avant d'obtenir une collection complète ?

La première hypothèse à faire, c'est que la probabilité d'obtention de chaque position est équiprobable. C'est à priori le cas puisque les timbres sont imprimés en feuilles complètes. Notre hyporhèse est donc parfaitement acceptable, sauf si l'une des positions présentait un caractère exceptionnel (comme une variété nettement visible), auquel cas les philatélistes auront porté attention à cette variété et il est plausible que plus d'exemplaires de cette position que des autres auront traversé le temps. Nous maintenons néanmoins notre hypothèse.

La seconde hypothèse qui permet de simplifier considérablement l'analyse est de supposer que le tirage du timbre considéré a été très important en terme de volume. En effet, s'il ne l'avait pas été, une fois une position ajoutée à notre collection, la probabilité d'occurence de cette position diminuerait. Cas extrème, si une seule feuille a été imprimée, une fois que j'ai ajouté une position à ma collection, je n'ai plus aucune chance d'obtenir la même position. Nos calculs supposerons en fait que le tirage a été infini.

Le troisième point qu'il est important de considérer est de savoir qu'elle est exactement la question. La réponse mathématique est simple, notre ami philatéliste souhaite connaître l'espérance du processus aléatoire qu'il décrit implicitement. L'espérance est une moyenne pondérée par la probabilité de chaque événement.

Faisons une parentèse pour illustrer l'espérance mathématique. Est-il plus rentable d'assurer une Peugeot 206 valant 12 000€ contre le vol pour 75€ / an, sachant que le taux de vol est de 100 véhicules / 100 000. Si j'assure mon véhicule, je dépense avec certitude 75€ / an. Sinon, je peux « espérer » perdre 12 000€ multiplié par un millième, soit 12€ / an. Sur une très longue période, il est donc nettement plus avantageux de ne pas assurer son véhicule. Cependant, à peu près tout le monde assure son véhicule contre le vol, et je vous laisse le soin de méditer sur le sujet.

Notre ami philatéliste, connaissant l'espérance, voudra également avoir une idée plus précise de ce à quoi il doit s'attendre. Nous lui fournirons donc le nombre de timbres qu'il devra examiner pour avoir par exemple 75% ou 90% de chance de compléter sa collection.

Avant de nous lancer dans nos calculs, prenons l'exemple concret d'un philatéliste qui voudrait avoir les deux moitiés d'un Double de Genève. Les deux premiers timbres qui lui seront offerts peuvent être

1. Le gauche puis un deuxième gauche.
2. Le gauche et le droit.
3. Le droit d'abord et ensuite un gauche.
4. Le droit puis un deuxième droit.

On voit qu'il a donc une chance sur deux de réussir sa collection avec les deux premiers timbres. Dans le premier et le quatrième cas, il devra attendre un qu'un troisième exemplaire soit offert et il sera face aux possibilités suivantes :

1. Gauche, gauche, gauche.
2. Gauche, gauche, droit.
3. Droit, droit, gauche.
4. Droit, droit, droit.

Ainsi, s'il a échoué à la compléter en deux fois, il a encore une chance sur deux de la compléter en trois fois, et ainsi de suite.

En résumé, notre collectionneur a 50% de chance de réussir sa collection dès les deux premières offres qui se présentent, 75% en trois, 87,5% en quatre, etc. Son espérance est égale à


ce qui donne, en ajoutant tous les termes jusqu'à l'infini, 3, tout simplement. Le collectionneur doit donc s'attendre à examiner trois exemplaires avant d'en voir un gauche et un droit.
La solution du cas général nécessite quelques compétences en analyse combinatoire. Le problème est équivalent à étudier les mots qui contiennent au moins une fois chacune des lettres d'un alphabet donné. Si n est le nombre de lettres de l'alphabet et k est la longueur d'un mot, alors


est le nombre de mots de longueur k qui contiennent au moins une fois chaque lettre de l'alphabet, si k est bien sûr supérieur ou égal à n. Pour avoir une idée d'où cette formule sort, il faut se rappeler des diagrammes de Venn. Le privilège du mathématicien est de pouvoir dire que le résultat est évident et que le soin de la démonstration est laissé au lecteur...

La probabilité qu'un mot de k lettres contiennent toutes les lettres de l'alphabet est donc donnée par


et la probabilité qu'un mot de k lettres contiennent toutes les lettres de l'alphabet mais que ce ne soit pas le cas pour le même mot auquel on enlève la dernière lettre est


Nous avons donc toutes les billes pour calculer ce qui nous intéresse, y compris l'espérance, qui est donnée par


Il est maintenant temps de sortir la calculatrice :

Nombre de positions	2	4	25	100	240
Espérance, en nombre de timbres	3,00	8,33	95,40	518,74	1454,38
50% de taux de réussite	2	7	90	497	1403
75% de taux de réussite	3	10	111	584	1613
95% de taux de réussite	6	16	152	754	2025
99% de taux de réussite	8	21	192	916	2415
99,9% de taux de réussite	11	29	249	1146	2967

Ce tableau donne, pour quelques tailles de planche, l'espérance ainsi que le nombre de timbres requis pour avoir une probabilité donnée de compléter la collection. Ainsi, si je souhaite reconstruire une planche de 100 timbres, je dois m'attendre à devoir examiner 518,74 exemplaires avant d'en avoir vu un de chaque position. Il faut 754 exemplaires pour avoir 95% de chance d'en avoir vu un de chaque.

Les valeurs données ici sont arrondies, l'espérance pour n = 100 est par exemple exactement égale à


Ce logiciel est impressionnant !

Pour terminer, une courbe pour le cas n = 100 :


Suite aux commentaires d'Emeric, je me dois de présenter une approche alternative pour calculer l'espérance. Supposons que parmi les n timbres que je souhaite obtenir, il m'en manque m. J'ai donc une probabilité m / n que le prochain timbre que j'examinerai ne fasse pas déjà partie de ma collection.

Plus généralement, la probabilité qu'il me faille examiner k nouveaux exemplaires avant d'en trouver un que je ne possède pas déjà est donnée par


Cette formule se comprend aisément; il me faut k - 1 échecs suivi d'un succès. L'espérance de ce processus, c'est-à-dire le nombre moyen de timbres que je devrai examiner avant d'en trouver un qui ne fasse pas déjà partie de ma collection est donnée par


Cette somme infinie est en fait une série géométrique et c'est probablement l'une des plus simple à résoudre, d'où la solution élégante et concise. Remarquez que lorsque m = n, c'est-à-dire lorsque je ne possède encore aucun timbre, l'espérance est égale à 1, ce qui le résultat attendu puisque le premire timbre que j'examinerai ne fera forcément pas partie de ma collection.

Compléter notre collection revient à ajouter un timbre à la fois, donc d'appliquer le processus aléatoire décrit ci-haut pour m = n, m = n - 1, m = n - 2, ... jusqu'à m = 1. L'espérance pour le processus complet est donc donnée par


ce qui, vous en conviendrez, est une formule infiniment plus simple que celle que j'ai donnée plus haut. À l'aide d'une calculatrice, on peut vérifier que les résultats sont identiques à ceux obtenus précédemment :

Nombre de positions	2	4	25	100	240
Espérance, en nombre de timbres	3,00	8,33	95,40	518,74	1454,38

En utilisant une propriété des nombres harmoniques découverte par Euler, on obtient l'approximation suivante lorsque n est grand :


où gamma est la constante d'Euler-Mascheroni, qui vaut 0,5772156649... et des poussières. L'approximation est-elle bonne ?

Nombre de positions	2	4	25	100	240
Espérance, en nombre de timbres	3,00	8,33	95,40	518,74	1454,38
Valeur approchée	3,04	8,35	95,40	518,74	1454,39

Même pour n = 2, l'erreur n'est que de 0,04. C'est ce qui s'appelle une convergence rapide !

Les deux formules pour l'espérance donnent le même résultat. Peut-on en faire la démonstration rigoureuse ? Sûrement, mais je n'y suis pas encore arrivé !

Pour terminer, j'ai découvert en furetant que le problème discuté dans cet article est connu sous le nom du coupon collector's problem.

Puisque cet article était illustré d'un bloc des premiers timbres anglais, faisons-nous plaisir avec ce rare bloc de six du fameux « penny black » :

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères du 29.04.2009, lot n° 467. Cote : 135 000£ Mise à prix : 95 000$ Prix de vente : 100 000$

Si son prix est si élevé, c'est qu'il s'agit d'exemplaires de la planche n° 11, la dernière utilisée pour ce timbre. Contrairement au un penny rouge de 1864, le numéro de planche n'est pas imprimé dans les ornementations sur les bords du timbre; il doit donc être déterminé par l'examen des infimes différences qui caractérisent cette planche. Un certificat d'authenticité est donc incontournable.

À quoi pouvait bien ressembler les étiquettes qu'on trouvait sur les bobines de fils de coton ? Et surtout, quel est le rapport avec la philatélie ?

Mis en vente par Spink, vente aux enchères n° 9003 du 22.01.2009, lot n° 17. Valeur estimée : 26 000 à 28 000£ Prix de vente : 26 000£ ex Ferrari

C'est le premier juillet 1850 que le service postal de la Guyane Britannique mis en place par l'Angleterre démarre. Seul problème, la métropole n'a pas fait parvenir de timbres à la colonie. L'intendant des postes se rend donc à l'imprimerie du Royal Gazette de Georgetown pour faire imprimer quelques « étiquettes » qui serviront en attendant l'arrivée des premiers véritables timbres, en 1852.

Le motif imprimé consiste en un cercle sur le pourtour duquel est écrit BRITISH GUIANA et au centre la valeur de l'affranchissement en italique, ici 4 cents. L'exemplaire ci-haut est frappé d'une oblitération circulaire et comporte une mention manuscrite, EDW, initiales du postier E. D. Wight.

L'exemplaire illustré ici est en excellente condition et est de forme carrée. Les collectionneurs attachent une grande importance à ce que le timbre ne soit pas découpé en un cercle ou un octogone, ce qui est souvent le cas.

Il ne reste plus qu'à faire le lien avec les bobines de fil... Le motif de ces timbres ressemblerait aux étiquettes de vente qu'on posait sur les bobines de fil de coton. Ces timbres se sont donc vus affubler de l'épithète « cotton reels ».